A simetria do triângulo I

Nos últimos dois posts, a figura geométrica que assumiu um evidente protagonismo foi o triângulo rectângulo: um triângulo que apresenta um ângulo recto. No título deste post refiro também um triângulo, mas não pretendo falar-vos de triângulos rectângulos. Os triângulos que quero explorar hoje são os triângulos equiláteros, isto é, triângulos em que os três lados têm o mesmo comprimento. Este tipo de triângulo irá auxiliar-nos no estudo de uma noção matemática muito interessante: a noção de simetria.

O conceito de simetria tem na vida quotidiana um significado diferente do significado que os matemáticos lhe atribuem. Em sentido corrente, algo tem “simetria” se é de algum modo harmonioso, bem proporcionado, ou segue um padrão regular bem definido. Este é um conceito vago, que pode ter diversas acepções, sendo portanto pouco rigoroso. Em Matemática, o conceito de simetria adquire uma maior precisão. No sentido matemático, dizemos que um dado objecto apresenta “simetria” se, após uma determinada transformação, certas características do objecto se mantêm. De facto, o conceito matemático de simetria aproxima-se mais do conceito de “invariância”: um objecto tem simetria se não se altera (ou se mantêm invariante) após uma dada transformação. Teremos oportunidade dentro de momentos de explicar o que se entende por “uma determinada transformação” ou “mantêm-se invariante”.

Por agora, pensemos num triângulo equilátero. Para futura referência, pensemos num triângulo em que os vértices estão rotulados com as letras A, B e C, o que será muito útil seguidamente.

Figura 1

Apesar de os vértices se encontrarem marcados, as letras servem apenas para a nossa orientação. O triângulo equilátero que quero que imaginem, caros leitores, não deve ser marcado de forma alguma: os vértices devem ser perfeitamente indistinguíveis.

Imaginem então um triângulo equilátero assente numa superfície, por exemplo uma mesa (os leitores mais dados às artes manuais poderão construir um triângulo equilátero em papel ou cartão de forma a acompanharem visualmente a minha exposição). A minha pergunta é a seguinte: o que é que eu posso fazer ao triângulo de modo a que pareça que não lhe fiz nada? Coloquemos a questão de outra forma. Imaginem, caros leitores, que estão numa sala comigo e está um triângulo equilátero (ou um modelo de cartão, menos matemático, mas mais fácil de fazer) em cima de uma mesa. Se eu sair da sala por momentos, o que é que podem fazer ao triângulo na minha ausência de forma a que quando eu voltar não note qualquer alteração no triângulo?

O leitor preguiçoso responderá imediatamente: posso não fazer nada! E de facto é uma resposta legítima. Se não mexermos no triângulo, de facto ele mantém-se inalterado. “Não fazer nada” é uma transformação que, quando aplicada ao triângulo equilátero, o deixa exactamente na mesma; em Matemática chamamos a esta aborrecida transformação a “transformação identidade”. A figura seguinte representa essa transformação, que se representa simbolicamente pela letra I. Como podem ver, os vértices continuam no mesmo sítio, pelo que o triângulo não se moveu.

Figura 2

Mas decerto existirão alternativas mais interessantes. Uma delas seria rodar o triângulo, no sentido contrário aos ponteiros do relógio por exemplo, um terço de volta (ou 120 graus, se preferirem). O que acontece aos vértices nessa situação? A figura seguinte ilustra este caso, denotando esta rotação por R1.

Figura 3

Como podem ver, o vértice A passou para a posição anteriormente ocupada pelo vértice B, o vértice B passou para a posição do vértice C, e o vértice C passou para a posição do vértice A. Apesar de conseguirmos ver a mudança de posição dos vértices, lembrem-se que na realidade estes rótulos são inexistentes e os vértices indistintos. Logo, para todos os efeitos, o triângulo não se alterou.

Da mesma forma que rodamos o triângulo um terço de volta e ele não se altera, podemos rodá-lo dois terços de volta (ou 240 graus), no mesmo sentido, e o triângulo permanece inalterado (ou invariante). Na figura seguinta essa transformação é designada R2.

Figura 4

(Notem que a rotação R1, de um terço de volta no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, é equivalente a rodar o triângulo dois terços de volta no sentido oposto; da mesma forma, a rotação R2, de dois terços de volta no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, é equivalente a uma rotação de um terço de volta no sentido oposto. Por esse motivo, basta considerar as rotações aqui indicadas; as rotações no sentido oposto são equivalentes.)

Bem, os meus caros leitores poderiam agora dizer que uma rotação de uma volta completa também seria válida. De facto, é, mas se fizéssemos um diagrama semelhante aos anteriores para essa rotação, veríamos que uma rotação de uma volta é equivalente à transformação identidade: os vértices mantêm-se na sua posição original.

Até aqui, temos 3 transformações que deixam o triângulo inalterado: a transformação identidade e duas rotações. Existirão mais? A resposta é afirmativa. Pensemos por exemplo em pegar no triângulo e virá-lo, passando a face visível a ser a face que tem estado apoiada na mesa. No entanto, não podemos virá-lo de qualquer forma; uma maneira de o fazer é mantendo a posição do vértice A e “trocando” os vértices B e C. Esta “reflexão” do triângulo aparece referida na figura seguinte com a letra L.

Figura 5

É claro que existem duas outras formas de “virar” o triângulo e não o alterar. Uma delas é manter o vértice B na sua posição, trocando os outros dois. Trata-se da transformação M da figura seguinte.

Figura 6

Por fim, apenas resta a transformação que consiste em reflectir o triângulo mantendo a posição do vértice C, trocando A e B. Trata-se da transformação N da figura seguinte.

Figura 7

Bem, façamos um resumo, de forma a responder sucintamente à pergunta original: que transformações posso fazer ao triângulo equilátero de forma a que este se mantenha invariante?

• A transformação identidade I
• As rotações R1 e R2
• As reflexões L, M e N

Temos assim seis transformações. A estas transformações, que deixam o triângulo inalterado, chamamos em Matemática “simetrias”. Assim, dizemos que o triângulo equilátero tem 6 simetrias.

(Um pequeno desafio: quantas simetrias tem um quadrado? Os leitores perspicazes poderão entreter-se a catalogar as transformações que deixam o quadrado invariante. Os leitores mais corajosos poderão ainda tentar contar as simetrias de um pentágono regular, ou de um hexágono…)

Bem, os meus caros leitores, impacientes, deverão estar neste momento a perguntar-se qual a utilidade deste post. Para quê listar as simetrias do triângulo equilátero? O interesse desta questão não está tanto nas simetrias em si, mas sim na forma como podemos combinar essas simetrias, efectuando uma após a outra. Neste momento devo implorar aos meus leitores que tenham um pouco de paciência, pois terão de esperar até ao próximo post para perceber exactamente o que quero dizer, e compreender que as simetrias do triângulo equilátero, algo tão simples e modesto, são apenas um exemplo de um conceito fundamental na Matemática moderna.

Três, quatro, cinco

[Antes de começar, queria apenas deixar um pedido de desculpas aos meus leitores pela minha prolongada ausência. Outras prioridades ocuparam as últimas semanas, mas espero poder, a partir de agora, voltar a actualizar o blog com a frequência desejada. Obrigado pela vossa compreensão.]

Começo este post com uma pergunta: o que têm de especial os três números referidos no título? São números naturais, é verdade; números naturais consecutivos, também é verdade. Mas não é essa a resposta que procuro. Uma pequena pista: leiam o post anterior. Sim, esse mesmo, sobre o teorema de Pitágoras. Já perceberam, caros leitores?

Bem, para os leitores que ainda não apreenderam a relação entre os três números deste título e o teorema de Pitágoras, a resposta é a seguinte: 3^2 + 4^2 = 5^2. Isto é, o quadrado de 3 é 9 e o quadrado de 4 é 16; 9 + 16 = 25, que é o quadrado de 5. Dito de outra forma, os números 3, 4 e 5 podem representar comprimentos de lados de um triângulo rectângulo.

Podemos ainda reformular de outra maneira a conclusão anterior. Consideremos a equação que sintetiza o cerne do teorema de Pitágoras: a^2 + b^2 = c^2. Se substituírmos a por 3, b por 4 e c por 5, obtemos a afirmação matemática 3^2 + 4^2 = 5^2, que é evidentemente verdadeira. Isto é, os números 3, 4 e 5 são soluções da equação a^2 + b^2 = c^2.

Mesmo antes de o teorema de Pitágoras se tornar um resultado chave da matemática grega, já diversas civilizações conheciam conjuntos de números naturais que constituíam soluções da equação a^2 + b^2 = c^2. Para além dos números 3, 4 e 5, temos também o exemplo dos números 5, 12 e 13: 5^2 + 12^2 = 13^2. Estes grupos de três números naturais que satisfazem a equação a^2 + b^2 = c^2 são actualmente conhecidos por ternos pitagóricos, ou triplos pitagóricos, devido à sua evidente relação com o teorema de Pitágoras.

Será que conseguimos encontrar mais exemplos de ternos pitagóricos? Com algum esforço, conseguimos encontrar, por exemplo 6, 8 e 10, e também 8, 15 e 17. Mas quantos triplos pitagóricos existirão? Será que existe apenas um número finito, ou será que, pelo contrário, conseguimos obter uma infinidade de ternos pitagóricos?

Para responder a esta questão recorremos uma vez mais a um resultado matemático que foi provado por Euclides (tal como o facto de existir uma infinidade de números primos). É possível demonstrar, adaptando um raciocínio do matemático grego Euclides, que existem infinitos ternos pitagóricos. Mas para o fazer, precisamos em primeiro lugar de fazer algumas observações muito simples sobre números naturais.

Em primeiro lugar, queria chamar a atenção para  a sucessão dos números quadrados, ou quadrados perfeitos. Trata-se da sucessão 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, etc., que se obtêm elevando ao quadrado sucessivamente todos os números naturais. Reparem, caros leitores, que esta sucessão é constituída por números pares que alternam com números ímpares. A razão de ser deste facto não é difícil de compreender: um número par multiplicado por si mesmo dá como resultado um número par; da mesma forma, um número ímpar multiplicado por si mesmo dá um número ímpar. Assim, sendo os números naturais alternadamente pares e ímpares, também os seus quadrados serão alternadamente pares e ímpares.

Um outro facto interessante que convém salientar é aquele que se expõe na figura seguinte.

Figura 1

Na linha superior encontram-se os quadrados dos números naturais. Por baixo de cada par, encontra-se a diferença entre os números que estão por cima. Reparem, caros leitores, que a diferença entre dois quadrados consecutivos é um número ímpar; não apenas isso, mas se considerarmos apenas a linha inferior da figura 1, temos todos os números ímpares a partir do 3.

É precisamente este facto que nos permitirá provar que os triplos pitagóricos são infinitos. Reparem no seguinte: se na linha inferior surgem todos os números ímpares (excepto o 1), também surgirão certamente os quadrados perfeitos ímpares, isto é, os números ímpares que são simultaneamente quadrados. Por exemplo, na figura podemos observar o número 9, que é um quadrado (o quadrado de 3) e é também ímpar. Ora, a posição do 9 na figura permite-nos concluir que 9 = 25 – 16, ou, o que é o mesmo, 9 + 16 = 25. Repare-se que todos os números envolvidos nesta igualdade são quadrados: por isso, podemos escrevê-la como 3^2 + 4^2 = 5^2. Encontrámos um triplo pitagórico.

Se a figura tivesse sido prolongada, depressa encontraríamos na linha inferior outro quadrado ímpar: seria o 25, o quadrado de 5. E constataríamos que os dois números por cima do 25 seriam os números 144 e 169: o quadrado de 12 e o quadrado de 13, respectivamente. Portanto, 25 = 169 – 144, ou seja, 25 + 144 = 169, ou seja ainda, 5^2 + 12^2 = 13^2. Prosseguindo desta forma, encontraríamos mais exemplos, procurando quadrados ímpares na linha inferior e encontrando, associados a esses quadrados ímpares, triplos pitagóricos. Como os quadrados ímpares na linha inferior são infinitos, também os triplos pitagóricos terão de ser em número infinito, o que conclui assim a nossa demonstração.

Trata-se sem dúvida de um resultado de grande beleza. Existe uma infinidade de triplos pitagóricos. Vejamos as coisas de outra perspectiva. Observemos a equação a^2 + b^2 = c^2. Já vimos que qualquer triplo pitagórico satisfaz a equação e já vimos que existem infinitos triplos pitagóricos. Portanto, a equação tem uma infinidade de soluções diferentes. Esta equação é aquilo a que se chama uma equação diofantina: uma equação para a qual pretendemos encontrar soluções que sejam números naturais ou inteiros (neste caso estamos apenas preocupados com números naturais). Existem muitos outros tipos de equações diofantinas, é claro. Podemos, por exemplo, pensar na equação seguinte: a^3 + b^3 = c^3.

Na equação anterior apenas mudámos os expoentes. Em vez de termos quadrados de números naturais, temos cubos. Não deve fazer grande diferença, certo? Se existem infinitas soluções para a equação com expoente 2, devemos conseguir usar um argumento semelhante para uma equação com expoente 3. Bem, de facto isso não acontece. Durante séculos diversos matemáticos tentaram encontrar soluções naturais para esta equação. E todos falharam. Tentemos outro expoente: a^4 + b^4 = c^4. Soluções? Alguém encontra? De facto não, esta equação também resistiu durante séculos a todos os ataques possíveis. E se subirmos o expoente ainda mais, 5, 6, 7, 8, …, não teremos maior sorte. Estas equações diofantinas escaparam aos esforços dos matemáticos durante tanto tempo que alguns começaram a suspeitar que de facto não existia solução para nenhuma delas.

Este facto, o de não haver soluções naturais para estas equações, foi enunciado por Fermat, um matemático francês, durante o século XVII. Ele afirmou que tinha encontrado uma demonstração, nas suas palavras, “maravilhosa”, para este teorema, mas esta espantosa declaração foi rabiscada na margem de uma página “demasiado pequena para a conter”. Durante os séculos que se seguiram, esta afirmação, que ficou conhecida por “último teorema de Fermat”, foi explorada e analisada pelos maiores matemáticos de todos os tempos, mas a demonstração do último teorema de Fermat demorou alguns séculos a chegar: o teorema só foi completamente provado pelo matemático britânico Andrew Wiles na década de 90. Apesar de ser um teorema de fácil compreensão, mesmo por pessoas com formação matemática menos elaborada, a sua prova demorou mais de 300 anos a ser concluída.

Terei oportunidade a seu tempo de falar um pouco mais da extraordinária saga que é a história do último teorema de Fermat, e sem dúvida que referirei alguns dos seus protagonistas. Por agora, concluo este post com uma última mensagem: mesmo um problema aparentemente simples em Matemática pode vir a revelar-se muito complexo; mas é na sua complexidade que existe riqueza, e que se abrem novas perspectivas que antes se encontravam enubladas. Outros exemplos existem desta situação em Matemática, e terei todo o prazer em falar-vos delas noutra ocasião. Até à próxima!

O teorema mais famoso do mundo

De certeza que os meus caros leitores terão ficado no mínimo intrigados pelo título deste post. A pergunta imediata a fazer após ler este título seria: afinal, qual é o teorema mais famoso do mundo? De facto, talvez seja um exagero apelidar o teorema de que vos quero falar como “o mais famoso”, mas se for um exagero, não é um exagero demasiado grande, pois este teorema é realmente muito conhecido. Quase todas as pessoas se recordarão do enunciado deste teorema, aprendido na escola, hoje em dia fazendo parte do programa do ensino básico: “Num triângulo rectângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.”

Trata-se, como o leitor mais informado decerto percebeu, do teorema de Pitágoras. Este teorema, conhecido dos gregos antigos há muitos séculos, é sem dúvida um dos resultados matemáticos mais populares, surgindo vezes sem conta nos mais variados contextos e constituindo um dos teoremas mais importantes da Geometria elementar. O que me proponho fazer neste post é, em primeiro lugar, analisar o enunciado deste teorema cuidadosamente e, em segundo lugar, apresentar uma demonstração simples e acessível do mesmo.

Comecemos então pelo primeiro objectivo. Certamente que os leitores mais informados não terão dificuldades em interpretar as palavras contidas no enunciado do teorema de Pitágoras, mas para o leitor menos informado e conhecedor, devo dar algumas palavras de esclarecimento.

Em primeiro lugar, o teorema de Pitágoras refere-se a triângulos rectângulos. Todos sabemos o que é um triângulo (de forma informal, uma figura geométrica com três lados), e um triângulo rectângulo não é mais do que um triângulo que tem um ângulo recto, ou seja, um ângulo de 90 graus.

Em segundo lugar, há que esclarecer o significado dos termos “hipotenusa” e “catetos”. Num triângulo rectângulo, existe um lado maior que os outros dois (é o lado que fica oposto ao ângulo recto); a esta lado chamamos hipotenusa do triângulo. Aos dois lados menores chamamos catetos. De facto, esta terminologia serve apenas para facilitar o enunciado do teorema, pois o mesmo efeito seria conseguido substituindo hipotenusa por “lado maior” e catetos por “lados menores”.

A figura 1 ilustra os conceitos referidos até aqui:

Figura 1

Na figura, o lado AB é a hipotenusa e os lados AC e BC são os catetos. Na figura 1 encontram-se também assinalados, com letras minúsculas, os comprimentos dos lados do triângulo: assim, a hipotenusa tem comprimento c, e os catetos têm comprimentos a e b.

Usando as letras da figura 1, o que o teorema de Pitágoras afirma é que a^2 + b^2 = c^2 (a^2 significa em notação matemática “o quadrado de a”, que não é mais que o resultado de multiplicar a por si mesmo). Enunciando novamente o teorema de Pitágoras de outra forma, temos o seguinte: num triângulo rectângulo, verifica-se a igualdade a^2 + b^2 = c^2, sendo a e b os comprimentos dos catetos e c o comprimento da hipotenusa.

O teorema de Pitágoras não é uma afirmação difícil de compreender, o que justifica a sua enorme popularidade. De facto, também não é especialmente difícil provar que o teorema é verdadeiro, isto é, demonstrá-lo. Existem inúmeras demonstrações diferentes, seguindo diferentes tipos de raciocínio (foi publicado um livro sobre este teorema que reunia 370 demonstrações diferentes do teorema de Pitágoras). A demonstração que irei aqui apresentar é uma demonstração simples, mas que requer do leitor alguns conhecimentos algébricos básicos, ao nível do 3.º ciclo do ensino básico.

(O leitor menos confortável com álgebra pode, se assim o desejar, saltar a demonstração seguinte, ou ler de passagem as ideias fundamentais e observar a figura.)

A ideia fundamental da demonstração encontra-se exposta na figura seguinte:

Figura 2

Partimos de um quadrado maior, e marcamos em cada lado um ponto que divide esse lado em duas partes. Repare-se que o tamanho das partes correspondentes em cada lado é igual: cada lado é dividido numa porção de comprimento a e numa porção de comprimento b. Unindo os 4 pontos marcados, obtém-se um novo quadrado, mais pequeno, cujo lado tem comprimento c. Assim, o quadrado maior fica dividido num quadrado mais pequeno, interior, e em 4 triângulos que são triângulos rectângulos (em que os catetos medem a e b, e a hipotenusa mede c).

Há duas formas de calcular a área do quadrado maior. A primeira forma consiste em observar que o quadrado maior tem de lado a+b, e portanto a sua área é (a+b)^2. Usando uma fórmula conhecida como quadrado do binómio (um dos casos notáveis da multiplicação), ficamos com (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.

Outra forma de calcular a área do quadrado maior é somar as áreas das 5 figuras que o constituem (o quadrado menor e os 4 triângulos). A área do quadrado menor é c^2, enquanto que cada triângulo tem de área ab/2. Assim, a área do quadrado maior será igual a c^2 + 4*(ab/2), ou seja, c^2 + 2ab.

Como calculámos a área da mesma figura, usando dois processos diferentes, os resultados obtidos por cada processo devem ser iguais, logo temos: a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab. “Cortando” a parcela 2ab em ambos os membros da igualdade, obtemos a^2 + b^2 = c^2, que é precisamente o teorema de Pitágoras, e a demonstração fica concluída.

Outras demonstrações, mais ou menos algébricas, mais ou menos geométricas, usando ideias muito diferentes, poderiam ser encontradas. Esta demonstração é suficientemente simples e clara para os propósitos deste blog.

(E agora, para o leitor menos confortável com álgebra, prometo que acabam aqui as equações.)

No próximo post irei referir mais alguns temas relativos a este teorema, respondendo a algumas questões interessantes que derivam directamente do conhecimento sobre o teorema de Pitágoras. Um dos temas que referirei será um outro teorema (igualmente simples, mas incomparavelmente mais difícil de demonstrar), que tem uma relação muito íntima com o teorema de Pitágoras. Por isso, caros leitores, mantenham-se atentos.

Reductio ad absurdum

Neste post, caros leitores, gostaria de começar por fazer uma breve referência a um assunto muito importante, e que por si só mereceria um (ou mais) posts; de facto, a sua extrema importância levar-me-á sem dúvida a voltar a este assunto em ocasiões futuras, daí o facto de por agora eu apenas o referir de forma sucinta. Trata-se de um pequeno vislumbre da forma como o “edifício” do conhecimento em Matemática é construído. A Matemática é caracterizada pelo seu rigor lógico e pelo seu carácter essencialmente dedutivo: de certos conhecimentos de partida obtêm-se outros, por meio de raciocínios logicamente válidos.

Não vou debruçar-me sobre os aspectos mais técnicos da lógica matemática, embora seja um assunto de grande interesse, vou apenas frisar algo importante: se queremos acrescentar ao corpo de conhecimento em Matemática algo de novo (um novo teorema, um resultado importante, uma afirmação significativa em qualquer área da Matemática) temos de demonstrar a sua veracidade. E esta “demonstração” ou “prova” não pode apenas ser um conjunto de argumentos persuasivos e convincentes; tem forçosamente de ser um raciocínio válido, sem qualquer falha lógica. Uma única prova válida de uma afirmação matemática é o suficiente; mil demonstrações convincentes, mas com falhas, não servem de nada.

Existem, naturalmente, diversas formas de fazer demonstrações em Matemática; existem diversas técnicas e linhas de orientação que podemos seguir. Mas não existe uma “receita” apropriada para qualquer demonstração (e por isso mesmo algumas conjecturas importantes em Matemática continuam por demonstrar, sendo que em certos casos já passaram séculos desde que foram enunciadas). Precisamente por esse motivo, demonstrar uma afirmação em Matemática é em certo sentido mais difícil do que efectuar um cálculo, para o qual temos um método determinado que podemos seguir.

No entanto, como referi, existem técnicas de demonstração que podemos usar. Uma dessas técnicas, aquela que tenciono explicar-vos neste post, chama-se “método de redução ao absurdo”, ou em latim “reductio ad absurdum”, e daí o estranho título deste post.

As afirmações em Matemática, também designadas proposições, podem ser verdadeiras ou falsas (não podendo ser ambas as coisas ao mesmo tempo). Quando pretendemos demonstrar uma proposição, o nosso objectivo é provar que esta é verdadeira. Uma forma de o fazer é através de uma chamada demonstração directa, em que partimos de conhecimentos que sabemos serem verdadeiros e, através de raciocínios lógicos, chegamos a uma conclusão que será a afirmação que queremos provar. Se o raciocínio for válido, os passos lógicos cuidadosamente efectuados, teremos provado o que queríamos: a nossa afirmação é verdadeira.

No entanto, é muitas vezes mais fácil seguir um outro caminho, à primeira vista mais tortuoso e indirecto. Em face de uma proposição cuja veracidade pretendemos provar, em vez de provarmos directamente que esta e verdadeira, tentaremos provar que não pode ser falsa. Ora, se formos bem sucedidos em provar que a proposição não pode ser falsa, não haverá outra solução senão estabelecer que esta é verdadeira, uma vez que são estas as duas únicas hipóteses possíveis.

Como provamos então que uma proposição não pode ser falsa? A resposta é: admitimos que a afirmação é falsa. Parece não fazer sentido: afinal, se queremos provar que uma dada afirmação é verdadeira, por que razão haveríamos de supor que é falsa? Por um motivo muito simples: se admitirmos que a proposição é falsa e através de raciocínios logicamente válidos chegarmos a uma conclusão absurda, que contradiz os mais elementares princípios da Matemática, que vai contra factos que sabemos serem verdadeiros, saberemos que o nosso erro foi admitir a falsidade da proposição. Assim, ela não poderá ser falsa, pois se fosse levaria a conclusões disparatadas.

Repito aqui o método para que fique bem claro: no método de redução ao absurdo, para provarmos a veracidade de uma proposição, admitimos que esta é falsa, e através de um raciocínio lógico chegamos a uma contradição (ou a um “absurdo”); deste modo saberemos que a afirmação não pode ser falsa, tendo forçosamente de ser verdadeira.

Parece um método realmente tortuoso e retorcido, mas é um método muito útil nas mais variadas circunstâncias. E como prova disso, apresentarei agora um exemplo de uma demonstração que é feita utilizando precisamente a redução ao absurdo. Trata-se de uma demonstração atribuída (com algumas modificações) ao matemático grego Euclides, e diz respeito a um facto elementar sobre números primos, dos quais falei no post anterior. Aqui vai o teorema, muito simples de compreender: existe uma infinidade de números primos.

Já em posts anteriores falei de conjuntos infinitos; poderia ter referido no último post o facto de o conjunto dos números primos, tal como o conjunto dos naturais, ser um conjunto infinito, mas não o fiz propositadamente para poder apresentar uma demonstração deste facto neste post. Passemos então à demonstração em si.

Como vamos raciocinar usando o método de redução ao absurdo, o primeiro passo é assumir que a afirmação que pretendemos provar (“Existe uma infinidade de números primos.”) é falsa; isto é, começaremos por assumir que não há uma infinidade de números primos, ou seja, que o conjunto dos números primos é finito. Assim, sendo um conjunto finito, poderemos enumerar todos os seus elementos. Vamos então considerar que o conjunto dos números primos é o conjunto {p1, p2, p3, p4, …, pn}. Aqui, p1, p2, p3, …, pn são símbolos usados para representar números primos. Assumimos que o conjunto é finito, mas não sabemos nada sobre o seu número de elementos, por isso consideramos de forma genérica um conjunto de com n números primos, em que n é um número arbitrário.

Vamos agora considerar um novo número, obtido da seguinte forma: multiplicamos todos os números primos (que estamos a supor serem em número finito) e somamos 1 a esse produto. Se chamarmos N a esse novo número, temos que N = p1*p2*p3*p4*…*pn + 1. Agora faz-se a pergunta: este novo número N é um número primo ou composto?

Bem, primo não poderá ser, uma vez que os primos estão todos enumerados no conjunto {p1, p2, …, pn} e o número N é diferente de qualquer um destes. Então terá de ser composto, não é verdade? Mas recordemos o Teorema Fundamental da Aritmética: qualquer número composto pode ser decomposto num produto de primos. Será isto possível para o número N?

Se N tivesse uma decomposição em factores primos, nessa decomposição só poderiam intervir primos do nosso conjunto finito {p1, p2, …, pn}, uma vez que são estes os únicos primos que estamos a admitir que existem. Então N teria de ser divisível por alguns destes primos. Mas N não pode ser divisível por nenhum destes primos, pela forma como definimos o número N.

[Um esclarecimento sobre este passo da demonstração. Se tomarmos os números primos 2, 3 e 5, por exemplo, e os multiplicarmos, o resultado é 30. Naturalmente, 30 será divisível por 2, por 3 e por 5. Mas se somarmos 1 a 30, ficamos com 31, que não é divisível por 2, nem por 3, nem por 5. O raciocínio é o mesmo para o número N: se N fosse igual a p1*p2*p3*...*pn, então seria divisível por todos estes primos; como somámos 1, N não é divisível por nenhum deles.]

Qual é a conclusão a tirar? N não é divisível por nenhum primo, logo não pode ser decomposto num produto de primos. Logo, não é um número composto. Aqui está o “absurdo”: concluímos acima que N não é primo, e agora concluímos que N não é composto. Isto não pode ser, pois qualquer natural é primo ou composto. Acabámos de encontrar uma contradição. Estando todos os passos da demonstração correctos, o “erro” só pode advir do facto de termos admitido no início que há um número finito de primos. Logo, pelo método de redução ao absurdo, concluímos que o conjunto dos primos é infinito.

Muito mais haveria a dizer sobre demonstrações por redução ao absurdo, incluindo uma discussão lógica mais técnica sobre o valor de tais demonstrações. Sendo uma tao discussão muito mais “pesada” que os modestos objectivos deste blog, dou por encerrado este post, e até à próxima!

Os átomos da aritmética

Caros leitores, hoje quero começar por propor um problema simples: imaginem que têm um saco com 24 rebuçados e têm a (difícil) tarefa de os distribuir por um grupo de crianças. Quantas crianças deverá ter o grupo de forma a que cada uma receba o mesmo número de rebuçados?

Rapidamente se darão conta que não existe apenas uma resposta a esta pergunta, mas sim várias. Por exemplo, poderíamos ter um grupo de 4 crianças, e cada uma receberia 6 rebuçados; ou um grupo de 6 crianças, e cada uma receberia 4 rebuçados. Também poderíamos ter 12 crianças, por exemplo, e cada uma receberia 2 rebuçados. Algumas respostas possíveis são: 2, 3, 4, 6, 8 e 12. Em qualquer um dos casos anteriores poderíamos fazer uma distribuição justa dos rebuçados. Excluí da lista dois casos: os casos extremos. Se tivéssemos um “grupo” com apenas uma criança (caso em que a designação “grupo” parece um pouco desadequada), poderíamos dar-lhe os 24 rebuçados. Ninguém poderia queixar-se que esta não é uma distribuição justa (muito menos a criança que recebe duas dúzias de rebuçados). Há outro caso: o caso em que temos 24 crianças e cada uma recebe um rebuçado apenas.

Estes dois últimos casos são casos extremos: no caso de termos 24 rebuçados temos muitas outras possibilidades. Mas o mesmo não acontece se tivermos, por exemplo, 23 rebuçados em vez de 24. Aqui a situação é radicalmente diferente: os únicos casos em que conseguimos assegurar uma distribuição justa são precisamente os casos extremos. Apenas com uma criança e com um grupo de 23 crianças podemos distribuir os rebuçados equitativamente.

Este problema da distribuição dos rebuçados está relacionado com propriedades dos números naturais, e em particular com propriedades relacionadas com divisibilidade. Sabemos que 24 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24 (estes são os divisores de 24), pois a divisão de 24 por qualquer um destes números é uma divisão exacta (com resto zero). Sabemos também que qualquer número é divisível por 1 (sendo o resultado da divisão o número original) e que qualquer número é divisível por si mesmo (sendo 1 o resultado da divisão). No entanto, existem certos números para os quais os únicos divisores são 1 e o próprio número; é o caso do 23, apenas divisível por 1 e 23.

A estes números chamamos números primos: números naturais maiores do que 1 que têm apenas dois divisores: 1 e o próprio número. (O caso do número 1 é um caso particular, pois 1 tem apenas um divisor; usualmente não se considera o número 1 como sendo primo.) Os dez primeiros números primos são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29, apenas a título de exemplo.

Qual a importância destes números? E qual a relação entre números primos e o título deste post? Aquilo de que pretendo convencer-vos com este post é que os números primos são efectivamente autênticos átomos: partículas básicas constituintes de todos os números.

Os números naturais não primos chamam-se números compostos. (Uma vez mais, não vamos considerar o número 1 como sendo composto, pondo-o de parte nesta classificação.) Consideremos novamente o número 24. Este número pode ser decomposto de várias formas; por exemplo, 24 = 12 + 12 ou 24 = 3 * 8. A primeira decomposição é uma decomposição em parcelas (visto tratar-se de uma adição) enquanto que a segunda é uma decomposição em factores, ou factorização. Neste caso os factores são 3 e 8, mas não é esta a única factorização possível. Podemos também factorizar o número 24 da seguinte forma: 24 = 2 * 2 * 2 * 3.

O que é que esta última factorização tem de especial? Todos os factores são números primos. Trata-se de uma decomposição do número 24 em factores primos. Se pensarmos noutros números compostos, como por exemplo o número 35 ou o número 44, podemos encontrar factorizações em números primos: 35 = 5 * 7 e 44 = 2 * 2 * 11. E na realidade, qualquer número composto tem uma decomposição em factores primos, por muito grande e aparentemente complexo que seja.

Será que conseguimos encontrar, por exemplo para o número 24, uma outra decomposição em factores primos? Bem, podemos sempre escrever 24 = 3 * 2 * 2 * 2. Mas aqui a única alteração que fizemos foi na ordem dos factores. Volto a perguntar, de forma mais explícita: será que conseguimos encontrar uma outra decomposição em factores primos de 24, sem nos limitarmos a trocar a ordem dos factores na decomposição já encontrada? A resposta é não. Se não pensarmos na questão da ordem, só existe uma decomposição em factores primos do número 24. E não só do 24; na verdade, a decomposição em factores de um número composto é única (excluindo, como referi, a ordem dos factores).

Aqui está um facto absolutamente fundamental. É inclusivamente conhecido, devido à sua importância, como Teorema Fundamental da Aritmética: qualquer número composto pode ser decomposto em factores primos de forma única, sem contar com a ordem dos factores.

E é precisamente isto que faz com que os números primos possam ser vistos como átomos da aritmética. A palavra átomo tem origem grega e significa “indivisível”. E de facto, apesar de hoje sabermos que os átomos não são verdadeiramente indivisíveis, os números primos em certo sentido são. Não conseguimos dividi-los em números naturais mais simples através da divisão (a não ser dividindo-os por si mesmos, e o resultado seria 1). E não só são “indivisíveis” como são blocos constituintes de todos os outros números; é como se os números naturais apresentassem uma “estrutura química” única formada por “átomos” primos, da mesma forma que as substâncias químicas apresentam uma estrutura química única formada por átomos.

Os números primos são objectos fascinantes em Matemática. Muitos problemas em aberto relacionam-se com estes números, e a distribuição destes números, a “lógica interna” por detrás da sua sequência, é algo que tem vindo a ocupar matemáticos desde há séculos. São provavelmente mais as coisas que desconhecemos sobre os primos do que aquelas que conhecemos. E é por isso que não será provavelmente a última vez, caros leitores, que vos falarei deles. Até ao próximo post!

Maçãs e laranjas (III)

Nos últimos dois posts, o meu objectivo foi o de dar uma primeira ideia de como podemos, em Matemática, falar sobre o número de elementos de um conjunto, tanto no caso dos conjuntos finitos como no caso dos conjuntos infinitos. Vimos que a noção de correspondência bijectiva desempenha um papel fulcral quando comparamos o número de elementos de um conjunto e vimos também que quando falamos de conjuntos infinitos, as coisas nem sempre funcionam como intuitivamente pensamos.

Deixem-me retomar a ideia com que concluí o post anterior. Se considerarmos o conjunto dos números naturais e “retirarmos” a esse conjunto um, dois, três, vinte, cem números naturais (ou qualquer quantidade finita), o resultado final é um conjunto que tem o mesmo número de elementos que o conjunto inicial. Esta foi a conclusão, muito pouco intuitiva, que extraímos da discussão anterior.

Ainda assim, trata-se de uma conclusão que, com alguma reflexão, pode ser aceite pelo leitor. Mas os conjuntos infinitos são uma caixinha de surpresas, e ainda há mais conclusões interessantes a tirar. Correndo o risco de ser monótono, peço aos meus caros leitores que voltem a imaginar um conjunto infinito de maçãs, cada uma marcada com um número natural. Vamos agora separá-las em maçãs pares e maçãs ímpares , formando duas pilhas distintas de maçãs.

A minha primeira pergunta é muito simples: os dois montes têm o mesmo número de maçãs? A resposta é igualmente simples: sim. Para alívio dos meus caros leitores, não há surpresas aqui. Há tantos números pares como ímpares. Basta pensar que podemos emparelhar pares e ímpares: o 1 com o 2, o 3 com o 4, e assim sucessivamente, formando uma correspondência bijectiva.

As coisas estão a ser demasiado simples, certo? Deixem-me então complicar um pouco: imaginemos que fazemos desaparecer as maçãs ímpares. Ficamos apenas com um grande monte de maçãs marcadas com todos os números pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, …

Continuamos a ter um número infinito de maçãs, afinal o conjunto dos números pares, tal como o conjunto dos números naturais, é infinito. Mas temos menos maçãs do que antes, quando tínhamos as maçãs todas? Reformulando: há menos números pares que números naturais?

Quase consigo imaginar os meus leitores a afirmarem convictamente: “Claro que sim!” É por isso uma pena ter de vos dizer que estão errados.

“Não, não, não! Tem de haver limites! Uma coisa é eu aceitar que se tirarmos um elemento ao conjunto dos naturais ficamos com um conjunto do mesmo tamanho (e isso já foi difícil…). Outra coisa é quereres convencer-me que eliminando metade dos naturais ficamos ainda com o mesmo número de elementos! Isso não faz sentido!”

Por favor, antes de me enviarem as vossas cartas iradas, deixem-me explicar. Lembram-se da ferramenta que utilizámos para comparar conjuntos? Sim, isso mesmo, correspondências. Vamos tentar estabelecer uma correspondência bijectiva entre o conjunto dos números naturais e o conjunto dos números pares. Se conseguirmos, então será inequívoco que têm o mesmo número de elementos. Observemos a figura seguinte.

Figura 1

Temos uma correspondência entre o conjunto dos naturais, na fila superior, e o conjunto dos pares, na fila inferior. Reparem que, ao estabelecermos esta correspondência, cada número natural fica associado ao seu dobro. Ora, não há números naturais na fila superior que fiquem sem par: qualquer número natural pode ser multiplicado por 2, sendo o resultado um número natural (par). Da mesma forma, qualquer número par pode ser dividido por dois, sendo o resultado um número natural. Não há números solitários desemparelhados. Temos então uma correspondência bijectiva entre o conjunto dos números naturais e o conjunto dos números pares. Logo… estes conjuntos têm o mesmo número de elementos.

Qual é a moral da história? O que é que podemos aprender com este post e com os posts anterior? Uma lição importante: quando falamos de conjuntos finitos, é impossível extrair elementos a um conjunto e ficar com um conjunto com o mesmo número de elementos; mas quando falamos de conjuntos infinitos, isso é possível.

Resumindo: um conjunto infinito e uma parte desse conjunto podem ter o mesmo número de elementos.

Os casos que abordámos até aqui de conjuntos infinitos foram: o conjunto dos números naturais, o conjunto dos números naturais excepto o 1, o conjunto dos números pares, entre outros. São todos infinitos e têm todos o mesmo número de elementos.

“Ah! Já percebi! Então os conjuntos infinitos têm todos o mesmo número de elementos!”

Não, isso não é verdade. E essa é provavelmente uma ideia muito estranha. Existem conjuntos infinitos “maiores” que outros conjuntos infinitos. No entanto, uma incursão por essas ideias seria muito mais técnica do que eu pretendo para este fase. Talvez mais tarde retome essa ideia, mas de facto o conjunto dos naturais é apenas um “tipo” de conjunto infinito: aquele a que chamamos “infinito numerável”. Existem conjuntos infinitos que não são numeráveis, conjuntos infinitos “maiores” que o conjunto dos naturais. Talvez esse possa ser um tema para um dos próximos posts; entretanto, fiquem atentos.

Maçãs e laranjas (II)

No post anterior referi que, para comparar o “tamanho” de dois conjuntos finitos, podemos utilizar a noção de correspondência ou aplicação bijectiva. Se for possível estabelecer uma correspondência bijectiva entre os elementos dos dois conjuntos em questão, então estes têm o mesmo número de elementos. O caso dos conjuntos infinitos, que na altura foi deixado em aberto, será abordado neste post.

A ideia, como referi anteriormente, é a mesma: utilizar correspondências/aplicações para comparar conjuntos, mas neste caso infinitos. Imaginemos então um cesto de maçãs, tal como no post anterior, mas desta vez (com um maior esforço de imaginação) imaginemos que a quantidade de maçãs no cesto é infinita. Vamos agora supor que, para efeitos de identificação, numeramos as maçãs. Pegamos numa maçã e colamos-lhe uma etiqueta com o número 1, depois pegamos noutra e colamos-lhe uma etiqueta com o número 2, e assim sucessivamente. Trata-se de uma tarefa impossível para um ser humano, uma vez que há uma infinidade de maçãs, mas imaginemos que a tarefa fica concluída (como que por magia) e todas as maçãs do cesto ficam numeradas.

Não será difícil perceber que, sendo as maçãs em quantidade infinita, existirão no cesto tantas maçãs como números naturais. Podemos até imaginá-las em fila, ordenadas de acordo com as suas etiquetas, uma fila infinita de maçãs, tantas como números naturais.

O que acontece se comermos a maçã com o número 1?

Bem, se tivéssemos um conjunto finito de maçãs, com, por exemplo, 10 maçãs, ficaríamos com 9. Se a um conjunto finito de maçãs tirássemos uma maçã, ficaríamos com um conjunto mais “pequeno”, com menos elementos. Mas neste caso estamos a comer uma maçã de um conjunto infinito de maçãs. Quantas maçãs ficam?

A pergunta poderá ser formulada de outra forma. Qual dos conjuntos é maior: o conjunto dos números naturais ou o conjunto dos números naturais excepto o 1? A resposta imediata seria: o conjunto dos números naturais, claro, pois tem um elemento a mais. Esta seria a conclusão intuitiva a tirar, partindo da nossa experiência com conjuntos finitos. Infelizmente, a intuição humana falha no que toca a questões relacionadas com o infinito, e esta resposta está errada.

“O quê? Não vais dizer que o conjunto dos números naturais é maior que o conjunto dos números naturais tirando o 1, pois não? Isso é absurdo!”

Não, efectivamente não vou. Na realidade, os dois conjuntos têm o mesmo número de elementos. E isto parece uma afirmação igualmente absurda, mas tenham paciência e a seu tempo eu a justificarei. O que é que significa dois conjuntos terem o mesmo número de elementos? Conforme vimos anteriormente, significa que e possível estabelecer uma correspondência bijectiva entre os seus elementos. Com conjuntos infinitos esta definição é ainda perfeitamente aceitável. Vamos então tentar fazer uma correspondência entre o conjunto dos números naturais e o conjunto dos números naturais excepto o 1.

Figura 1

A figura anterior pretende ilustrar esta correspondência. Ao número 1 fazemos corresponder o 2, ao 2 fazemos corresponder o 3, e assim sucessivamente. Será que a correspondência é bijectiva? Há algum número da fila superior que fique sem par? De facto não. Nesta correspondência, a cada número natural fazemos corresponder o seu sucessor. Como o conjunto dos números naturais é infinito, todos os naturais têm um sucessor. Da mesma forma, todos os números na fila inferior têm par, pois a cada número natural (igual ou maior que 2) fizemos corresponder o seu antecessor, e todos os números naturais a partir do 2 têm antecessor.

A correspondência efectuada é bijectiva, e portanto ambos os conjuntos têm o mesmo número de elementos. Ainda há qualquer coisa que parece estranha aqui, certo? Afinal, se tirámos um elemento ao conjunto, este não deveria ficar com menos elementos? Isto é perfeitamente correcto para conjuntos finitos, mas não para conjuntos infinitos. Ao olhar para a figura, ficamos com a sensação que algures no fim da fila superior um número natural ficaria sem par. Atentem nas palavras anteriores: “no fim da fila superior”. Aqui está o ponto fulcral: a fila superior não tem fim. Vimos anteriormente que se trata de um conjunto infinito.

Os conjuntos infinitos têm a capacidade de escapar à nossa intuição. Deixem-me ir um pouco mais longe. Se em vez de comermos apenas a maçã com o número 1, comermos as primeiras 10 maçãs, o conjunto ficará com menos elementos?

Mais uma vez, a resposta é não.

Um exercício para o leitor: escrevam alguns números naturais numa folha de papel, em fila. Por baixo deles, alinhados, escrevam uma fila de números naturais a começar no 11. No fundo, tentem representar uma correspondência semelhante à da figura 1. Será esta correspondência bijectiva? Uma vez mais, é. A cada número natural fazemos corresponder o número natural 10 unidade maior. Se o conjunto fosse finito, a correspondência não seria bijectiva: ao maior número natural não podia corresponder nada, pois não haveria um número 10 unidades maior. Mas sendo o conjunto infinito, é sempre possível somar 10 a um número natural e obter outro. Assim, se tirarmos 10 elementos ao conjunto infinito dos números naturais, ficamos com o mesmo número de elementos.

Podemos então concluir que retirar uma quantidade finita de números ao conjunto dos naturais dá-nos como resultado um conjunto que, apesar de intuitivamente parecer mais “pequeno”, tem na verdade o mesmo “tamanho” que o conjunto dos naturais.

Talvez seja difícil à partida aceitar o que disse neste post como sendo válido. Uma forma mais convincente (pelo menos para um matemático ou para alguém com mais experiência matemática) seria demonstrar as minhas afirmações matematicamente, com mais rigor e exactidão. Poderia fazê-lo, mas não é esse o meu objectivo com este post; não pretendo ser demasiado técnico.

Ainda há algumas experiências a fazer com o conjunto dos números naturais antes de encerrar o assunto. Mas essas ficarão para o próximo post.

Maçãs e laranjas (I)

Toda a gente conhece, certamente, a sucessão de números que se segue, conhecidos por números naturais: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …

(Uma pequena observação: há quem considere o número 0 (zero) como sendo também um número natural; os argumentos são variados e não há necessidade de entrar em detalhes. Neste post (e provavelmente em todo o blog, salvo indicação expressa em contrário) considerarei que o zero não é natural.)

O conjunto dos números naturais é familiar a todos nós; as primeiras operações que aprendemos na escola primária, adição, subtracção, multiplicação e divisão, são feitas inicialmente apenas com números naturais. Assim sendo, dificilmente esperaríamos surpresas de um conjunto de números tão simples.

Mas eis que surge uma pergunta quase infantil, uma pergunta que poderia ser feita por uma criança que desse os primeiros passos na compreensão dos números: qual é o maior número natural? A resposta, apesar de clara para a mente de uma pessoa informada, encerra em si questões profundas: não existe tal coisa. Não há um “maior número natural”. E a justificação é muito simples, se não quisermos entrar em detalhes técnicos: dado um número natural, basta somar-lhe um para obter o seguinte. Esta operação de “somar um” pode ser repetida indefinidamente, pelo que não pode haver um número natural maior que todos os outros. Repito: se houvesse um número natural maior que todos os outros, bastava somar-lhe um para obter um ainda maior, o que claramente rouba o título de “maior de todos” ao número inicialmente considerado.

Tenho estado a evitar propositadamente usar a palavra “infinito”, mas efectivamente é isso que o conjunto dos números naturais é: um conjunto infinito. Mas antes de esclarecer este conceito, deixem-me primeiro falar de conjuntos menos misteriosos e muito mais familiares: os conjuntos finitos.

Imaginemos dois cestos: um deles cheio de maçãs e outro cheio de laranjas. Como podemos saber se o número de maçãs no primeiro cesto é igual ao número de laranjas no segundo? É uma pergunta simples: basta contar as maçãs, contar as laranjas e comparar os números para verificar se são iguais. Mas aqui vai uma pergunta mais difícil: como é que alguém que não sabe contar e não conhece, portanto, os números naturais, verificaria se existe a mesma quantidade de peças de fruta nos dois cestos?

A resposta é menos óbvia, mas ainda assim muito elementar: alguém que não saiba contar poderia simplesmente meter uma mão em cada cesto e retirar uma maçã do primeiro cesto e uma laranja do segundo, colocando-as lado a lado em cima de uma mesa. Em seguida, retiraria mais uma maçã e mais uma laranja, emparelhando-as. Procedendo assim, ficaria com pares formados por uma maçã e uma laranja. No final, teríamos três situações possíveis:

1. Todas as maçãs ficam emparelhadas com uma laranja, e vice-versa. Neste caso, saberíamos que há tantas maçãs como laranjas: os dois cestos tinham a mesma quantidade de peças de fruta.
2. Sobram maçãs desemparelhadas; neste caso o cesto das maçãs tinha mais peças que o das laranjas.
3. Por fim, podem sobrar laranjas, caso em que diríamos que havia mais laranjas que maçãs.

É importante que percebam, caros leitores, a importância da conclusão que podemos daqui retirar: para comparar dois conjuntos (neste caso, finitos), em termos do seu número de elementos, não precisamos necessariamente de utilizar números naturais. Basta utilizar uma ferramenta que constitui uma das ideias mais fundamentais em Matemática: a ideia de correspondência.

Na verdade, o que fizemos foi fazer corresponder a cada maçã uma laranja (ou vice-versa), emparelhando-as. No caso de existirem tantas maçãs como laranjas, a cada maçã corresponderá uma laranja e a cada laranja corresponderá uma maçã, sem que sobre fruta de qualquer dos tipos. Neste caso, dizemos que a correspondência estabelecida é uma correspondência bijectiva (ou aplicação bijectiva, que é o termo mais usado em Matemática).

A conclusão geral a extrair é a seguinte: dois conjuntos (finitos) têm o mesmo número de elementos se for possível estabelecer uma correspondência bijectiva entre os seus elementos, isto é, se for possível fazer corresponder a cada um dos elementos do primeiro conjunto um elemento do segundo conjunto, de forma a que não sobre nenhum em ambos os conjuntos.

Então e os conjuntos infinitos? Dados dois conjuntos infinitos, como sabemos se têm o mesmo número de elementos? Como compará-los? A ideia de correspondência desempenhará um papel fundamental, como veremos, mas ao analisarmos conjuntos infinitos surgem resultados e conclusões verdadeiramente surpreendentes, como esclarecerei no próximo post. (Sim, terão de esperar para ver…)

O que é um conjunto quociente?

O que é um conjunto quociente?

A noção de conjunto quociente é uma das mais importantes em Matemática, e poderia explicá-la com todo o rigor e detalhe. No entanto, parece-me que um post técnico, ainda que rigoroso, seria demasiado denso para iniciar um blog (e afugentaria possíveis leitores, o que não é de todo a minha intenção). No entanto, de certeza que qualquer leitor deste blog se sentirá curioso relativamente ao seu estranho título, e é meu dever dar uma explicação. Por isso, vou sacrificar um pouco do rigor matemático para bem da clareza.

Imaginem então os meus caros leitores um conjunto. Um conjunto de quê, perguntarão? Bem, isso não é importante, mas se querem um exemplo concreto, pensem então no conjunto de todas as pessoas do mundo (sim, todas, até mesmo vocês, caros leitores). Agora vamos introduzir neste conjunto aquilo a que os matemáticos chamam uma relação. Sem pormenores técnicos, vamos dizer que no nosso conjunto concreto duas pessoas estão relacionadas se tiverem, por exemplo, a mesma idade. Então eu estarei relacionado (à data da publicação deste post) com todas as pessoas que tiverem 19 anos de idade.

Existem certos factos interessantes que podemos dar acerca desta relação:

1. Qualquer pessoa tem a mesma idade que ela própria. (Este é um facto bastante óbvio, e no nosso exemplo concreto parece quase disparatado referi-lo.) Isto significa que qualquer pessoa está relacionada consigo mesma.
2. Se a pessoa A tem a mesma idade que a pessoa B, então a pessoa B tem a mesma idade que a pessoa A. (Outro facto aparentemente evidente.) Dito de outra forma, se a pessoa A está relacionada com a pessoa B, então a pessoa B está relacionada com a pessoa A.
3. Se a pessoa A tem a mesma idade que a pessoa B, e a pessoa B tem a mesma idade que a pessoa C, então a pessoa A tem a mesma idade que a pessoa C. (Talvez precisem de ler duas vezes a frase anterior, pois esta pode ser um pouco confusa à primeira leitura). Ou seja, se a pessoa A está relacionada com a pessoa B, e a pessoa B está relacionada com a pessoa C, então a pessoa A está relacionada com a pessoa C.

Os factos referidos anteriormente são na realidade propriedades da relação que escolhemos, mas não só desta relação. Se tivéssemos escolhido, em vez da idade, a altura como referência (ou seja, duas pessoas estariam relacionada se tivessem a mesma altura), nada seria alterado nas propriedades anteriores. Em Matemática, uma relação que obedece às propriedades anteriores chama-se relação de equivalência.

(Provavelmente estou a ser maçador. Por favor aguentem mais um pouco, estamos quase a chegar.)

Qualquer pessoa compreenderá facilmente que é possível, usando a relação do exemplo, categorizar as pessoas do conjunto que considerámos. Em cada categoria, ou classe, ficarão as pessoas que estão relacionadas entre si, isto é, que têm a mesma idade. Teremos assim a classe das pessoas de 19 anos, a classe das pessoas de 25 anos, a classe das pessoas de 81 anos, etc etc. Aquilo com que ficamos é um conjunto de classes. E é a este conjunto de classes (que se chamam classes de equivalência) que chamamos conjunto quociente.

Quando pedimos a uma criança para separar por cores um conjunto de objectos (como peças Lego, por exemplo), o que estamos na realidade a pedir é que esta forme classes de equivalência, em que a relação que se encontra subjacente a esta classificação é “dois objectos estão relacionados se tiverem a mesma cor”. Rapidamente se podem encontrar outros exemplos.

Esta noção de “dividir” um conjunto em classes de equivalência é de extrema importância em vários domínios da Matemática. Tomei contacto com este conceito pela primeira vez no primeiro semestre do 1.º ano da licenciatura em Matemática que estou neste momento a fazer, e achei que se tratava de um conceito extremamente belo pela sua simplicidade. Voltei a encontrar conjuntos quocientes e classes de equivalência em várias áreas da Matemática, o que me provou a sua utilidade e importância.

Este é um blog sobre Matemática. Não só sobre Matemática, mas sobre outras questões que me interessam e que se encontram relacionadas com Matemática. E talvez consiga convencer pelo menos alguns de vocês, caros leitores, que a Matemática pode ser interessante, pode ser bela. Até pode ser simples.

Tal como um conjunto quociente.

Filipe Gomes